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3.4实际问题与一元一次方程(全部类型)_图文

字体大小:[日期:2017-11-20]阅读:

导读:七年级数学(人教版)上册

3.4实际问题与一元一次方 程

独学
1、一批零件,甲每小时能加工80个,则

⑴甲3小时可加工 240个零件, x小时可加工 80x个零件。 ⑵加工a个零件,甲需

七年级数学(人教版)上册 3.4实际问题与一元一次方 程 独学 1、一批零件,甲每小时能加工80个,则 ⑴甲3小时可加工 240个零件, x小时可加工 80x个零件。 ⑵加工a个零件,甲需 小时完成。 2、一项工程甲独做需6天完成,则 ⑴甲独做一天可完成这项工程的 ⑵若乙独做比甲快2天完成,则乙独做一天可完成 这项工程的 工程问题的基本数量关系: 工作总量=工作时间×工作效率 当不知道总工程的具体量时,一般 把总工程当做“1‖,如果一个人单 独完成该工程需要a天,那么该人 的工作效率是1/a 工程问题中的数量关系: 工作总量 1) 工作效率= ——————————— 完成工作总量的时间 2)工作总量=工作效率×工作时间 工作总量 3)工作时间= ————— 工作效率 4)各队合作工作效率=各队工作效率之和 5)全部工作量之和=各队工作量之和 某装潢公司接到一项业务,如果由甲组需10天 完成,由乙组做需 15 天完成 . 为了早日完工, 现由甲、乙两组一起做, 4 天后甲组因另有任 务,余下部分由乙组单独做,问还需几天才能 完成? (1)可否用示意图来分析数量关系? 带 (2)总工作量怎么表示?甲乙两人的工作 着 效率怎么表示? 问 (3)设哪个未知数?相关的量怎样用它表示? 题 (4)根据怎样的数量关系列方程? 例1:甲每天生产某种零件80个,甲生产3天 后,乙也加入生产同一种零件,再经过5天, 两人共生产这种零件940个,问乙每天生产 这种零件多少个? 图 示 相 等 关 系 甲乙后5天生产零件的总个数 头3天甲生产 甲后5天生 乙后5天生 零件的个数 产的个数 产的个数 940个 头3天甲 生产零件 的个数 后5天甲 后5天乙 + 生产零件 + 生产零件 的个数 的个数 =940 解:设乙每天生产零件的个数为x, 由题意得 3 ? 80 ? 5 ? 80 ? 5 x ? 940 解得 x ? 60 答:乙每天生产零件60个. 例2、一件工作,甲单独做20个小时 完成,乙单独做12小时完成,现在先 由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、 乙合做。剩下的部分需要几小时完成? 左边 全部工 作量为 “1” 右边 设甲、乙合做部分需要x小时完 成,甲独做部分完成的工作量 1 4 ? 4 ? 为 20 20 工程问题基本等量关系: 甲、乙合做部分完成的工作量 1 1 一共完 每个人的工作量之和 = x ? 12 x 为 20 成的工作量 全部工作量“1” 甲先做4 合做x小时 小时完 甲完成的工 成的工 1 作量 20 x 4 做量 20 合做x小时乙完成的 1 工作量 12 x ?相等关系: 全部工作量= 甲独做工作量 +甲、乙合作 工作量 例2、一件工作,甲单独做20个小时完成,乙单独做12小时完成, 现在先由甲单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部 分需要几小时完成? ?解:设剩下的部分需要x小时完成, 4 1 1 根据题意,得 20 ? 20 x ? 12 x ?1 解这个方程,得 x=6 答:剩下的部分需要6小时完成。 注意:工作量=工作效率×工作时间 精彩展示: 练习1、某工作由甲、乙两队单独做分 别需要3小时、5小时,求两人合做这项 工作的80%需要几小时? 解:设两人合做这项工做需x小时,根据 题意得, (1/3+1/5)x=80% 解这个方程得 x=3/2 答:两人合做这项工做的80%需3/2小时。 精彩展示 例3 挖一条长为1210米长的水渠,由甲施工队独做需要11 天完成,乙施工队独做需要20天完成,现在甲、乙两 施工队从两头同时施工,挖完这条水渠估计需几天? 解:设挖完这条水渠估计要x天. 等量关系: 甲施工队挖的米数+乙施工队挖的米数=1210米 依题意得 1210 1210 x? x ?1 11 20 x ≈8 220 x? 31 答:两个施工队合作估计需要八天挖完。 精彩展示 例3 挖一条长为1210米长的水渠,由甲施工队独做需要11 天完成,乙施工队独做需要20天完成,现在甲、乙两 施工队从两头同时施工,挖完这条水渠估计需几天? 分析:把这个问题看成工程问题的话, 通常把总量(即本题中的这条水渠)看成“1”, 即本题的等量关系为 甲完成工作量+乙完成工作量=1 解:设挖完这条水渠估计要x天. 1 1 由题意得: x? x ?1 11 20 220 x? 31 x ≈8 例1中的1210这个数据可以不用,解方程也简单。 例4 修筑一条公路,甲工程队单独承包要80天完成,乙工程队单独 承包要120天完成 1)现在由两个工程队合作承包,几天可以完成? 2)如果甲、乙两工程队合作了30天后,因甲工作队另有任务, 剩下工作由乙工作队完成,则修好这条公路共需要几天? 解: 1)设两工程队合作需要x天完成。 等量关系:甲工作量+乙工作量=1 1 1 依题意得 x? x ?1 80 120 x=48 2)设乙修好条公路共需要 y 天完成。 等量关系: 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1 依题意得 1 1 ? 30 ? y ?1 80 120 y=75 答:两工程队合作需要48天完成,修好这条公路还需75天。 例5 甲、乙两输油管向油轮注油,甲管独注需60 小时,乙管独注需120小时,问两管同时注油 1 多少小时可注满油轮的 ? 4 1 解:设两管同时注油需x小时可注满油轮的 1 等量关系:甲管注油量+乙管注油量= 4 4 1 1 1 x? 依题意得: x ? 60 120 4 x=10 1 答:两管同时注油10小时可注满油轮的 4 例6 一个水槽有甲、乙两个水管。甲水管是进水管, , 在5小时之内 、 可以把空水槽装满。乙水管是出水 管, 满槽的水在6小时内 可以 流完。现水槽内没水, 如果先开甲水管1小时,再把 乙水管也打开,再经过几小时 水槽里的水恰好等于水槽容 5 量的 ? 18 5 解:设再经过x小时水槽里的水恰好等于水槽的 18 5 等量关系:甲管流进水的水+乙管流出的水 =水槽的 18 依题意得: 1 5 ? x? x ? 1 5 1 6 2 5 2 答:再经过 3小时水槽里的水恰好是水槽容量的 2 x?2 3 5 18 18 3.一收割 机队每天收割小麦12公顷,收割完一片麦地 的 后,该收割机改进操作,效率提高到原来的 倍,因此比预定时间提早1天完成.问这片麦地 有多少 公顷? 解:设这片麦地 有X公顷,由题意得 检验:x=180适合方程,且符合题意. 答:这片麦地 有180公顷 例6、 已知开管注水缸,10分钟可满,拨开底塞,满缸水 20 分钟流完,缸内的水流完后,现若管、塞同开,若干 时间后,将底塞塞住,又过了2倍的时间才注满水缸,求 管塞同开的时间是几分钟? 分析: 解:设两管同开x分钟 注入或放出率 注入或放出时间 注入 放出 1 10 1 20 注入或放出量 3 x 10 1 x 20 x+2x=3x(分钟) x(分钟) 等量关系:注入量-放出量=缸的容量 x=4 答:管塞同开的时间为4分钟 3 1 x ? x ?1 依题意得: 10 20 大放血 清仓处理 跳楼价 大亏本 5折酬宾 知识探究 1、商品原价200元,九折出售,卖价是 180 元. 2、商品进价是30元,售价是50元,则利润 是 20 元. 2、某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价 10%,降价后每件零售价是 0.9a 元. 3、某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a 元,则该品牌彩电每台原价应为 1.25a 元. 4、某商品按定价的八折出售,售价是14.8元, 则原定售价是 18.5元 . 我思,故我进步 思考? ? 对上面商品销售中的问题里有哪些量? 成本价(进价), 标价; 销售价; 利润; 盈利; 亏损: 利润率 ? 对上面这些量有何关系? ●售价×件数=总金额 销 售 中 的 等 量 关 系 ●售价、进价、利润的关系式: 商品利润 = 商品售价—商品进价 ●进价、利润、利润率的关系: 利润率= 商品利润 ×100% 商品进价 ●标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价= 标价× 折扣数 10 ●商品售价、进价、利润率的关系: 商品售价= 商品进价×(1+利润率) 驶向胜利 的彼岸 问题&情境 探究1 分析:售价=进价+利润 售价=(1+利润率)×进价 分析:① 设盈利25%衣服的进价是 x 元,则商 品利润是 0.25x 元;依题意列方程 x + 0.25x = 60 由此得 x = 48 ② 设亏损25%衣服的进价是 y 元,则商品 利润是 -0.25y 元;依题意列方程 y +(-0.25y)=60 由此得 y = 80 两件衣服的进价是 x+y= 48+80=128 (元) 两件衣服的售价是 60×2=120 (元) 因为 进价 > 售价 所以可知卖这两件衣服总的盈亏情况是 亏损 . 解:设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 另一 件的进价为y元,依题意,得 x+0.25x=60 解得 x=48 y-0.25y=60 解得 y=80 60+60-48-80=-8(元) 答:卖这两件衣服总的亏损了8元。 课内练习 (1)广州某琴行同时卖出两台钢琴,每台售价为960元。 其中一台盈利20%,另一台亏损20%。这次琴行是盈 利还是亏损,或是不盈不亏? 解:设盈利20%的那台钢琴进价为x元,它的利润是 0.2x元,则 x+0.2x=960 得 x=800 设亏损20%的那台钢琴进价为y元,它的利润是 0.2y元,则 y-0.2y=960 得 y=1200 所以两台钢琴进价为2000元,而售价1920元,进价大于售 价,因此两台钢琴总的盈利情况为亏本80元。 请再做一做: (2)某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中 一个盈利60%,另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情 况? 解:设盈利60%的那个计算器进价为X元,它的利润是0.6X 元,则 X+0.6X=64 得 X=40 设亏本20%的那个计算器进价为Y元,它的利润是0.2Y 元,则 Y–0.2Y=64 得 Y=80 所以两个计算器进价为120元,而售价128元,进价小于售 价,因此两个计算器总的盈利情况为盈利8元. 问题2 某商店为了促销G牌空调机,承诺 2004年元旦那天购买该机可分两期付款, 即在购买时先付一笔款,余下部分及它的利 息(年利率为5.6%)在2005年元旦付清, 该空调机售价为每台8224元.若两次付款数 相同,那么每次应付款多少元? 你会了吗? 解:设每次付款为x元,依题意得 (8224-x)(1+5.6%)=x 解得 x=4224 答:每次付款4224元. 做一做 1、某商场把进价为1980元的商品按 标价的八折出售,仍获利10%, 则该 商品的标价为 元. 解:设该商品的标价为x元. 0.8x=1980(1+0.1) 解得 x=2722.5 答:设该商品的标价为2722.5元. 2、我国政府为解决老百姓看病难的问题,决 定下调药品的价格,某种药品在2005年涨价 30%后,2007降价70%至a元,则这种药品 在2005年涨价前价格为 元. 解:设在2005年涨价前的价格为x元. (1+0.3)(1-0.7)x=a 100 a 解得 x= 39 100 答:在2005年涨价前的价格为 3 9 a元. 拓展提高 某商场把进价为800元的商品按标 价的八折出售,仍获利10%, 则该商 品的标价为多少元? 进价+进价×利润率=标价× 800 800 10% 折扣数 10 x 80% 解:设该商品的标价为x元. 800+800×10%=80%x 解得 x=1100 答:设该商品的标价为1100元. 小结: 通过本节课的学习你有哪些收获? 你还有哪些疑惑? 熟记下列关系式 ●售价、进价、利润的关系式: 商品利润 = 商品售价—商品进价 ●进价、利润、利润率的关系: 商品利润 利润率= ×100% 商品进价 ●标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价= 标价× 折扣数 10 ●商品售价、进价、利润率的关系: 商品售价=商品进价×(1+利润率) 思考题 大展身手 1、某商品的进价是1000元,售价是1500元,由于销售情况不好, 商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可 降多少元出售此商品? 2、一年定期的存款,年利率为1.98%, 到期取款时须扣除利息的 20%,作为利息税上缴国库,假如某人存入一年的定期储蓄1000元, 到期扣税后可得利息多少元? 3、某商场将某种DVD产品按进价提高35%, 然后打出“九折酬宾, 外送50元打的费”的广告,结果每台DVD仍获利208元,则每台 DVD的进价是多少元? 4、国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是:(1) 稿费不高于800元的不纳税;(2)稿费高于800元又不高于4000元 的应交超过800元那一部分稿费14%的税;(3)稿费高于4000元的 应交全部稿费的11%的税。王老师曾获得一笔稿费,并交纳个人所 得税280元,那么王老师的这笔稿费共多少元? 自主探究发现 【情景】 一般情况下,个体 服装店只要高出进价的 20﹪(公平买卖)便可 盈利,但经销商们常常 以高出进价的80﹪~ 100 ﹪标价,然后进行 打折销售,或者与顾客 一天,小明的妈妈从个体服装 店买回一件成衣,花去220元,回家 后高兴的对小明说:“今天我捡了 个大便宜,碰上服装八折优惠酬宾 , 平时要花275元的衣服我只要花了 220元就买回来了.‖ 1. 试估算一下该衣服的进价? 2. 如果该件衣服是商家在进价的基 础上加价80﹪标价,则多少钱买这 件衣服才算公平买卖(加20﹪)? 3.小明的妈妈真的捡便宜了吗?若没 有,请你帮她计算一下,她比在公平 买卖时多付出多少元钱?(计算过程 中保留一位小数). 讨价还价. 本题给了我们 什么启示? 行程问题 一、本课重点 路程=速度X时间 1.基本关系式:_________________ 2.基本类型: 相遇问题; 相距问题 3.基本分析方法:画示意图分析题意,分清速度及 时间,找等量关系(路程分成几部分). 4.航行问题的数量关系: (1)顺流(风)航行的路程=逆流(风)航行的路程 (2)顺水(风)速度=_________________ 静水(无风)速+水(风)速 静水(无风)速—水(风)速 逆水(风)速度=_________________ 一、相遇问题的基本题型 1、同时出发(两段) 2、不同时出发 (三段 ) 二、相遇问题的等量关系 s先 ? s甲 ? s乙 ? s总 s甲 ? s乙 ? s总 二、基础题 1、甲的速度是每小时行4千米,则他x小时行 ( 4X )千米. 2、乙3小时走了x千米,则他的速度( X/3 ). 3、甲每小时行4千米,乙每小时行5千米,则甲、 乙 一小时共行( 9 )千米,y小时共行( 9y ) 千米. 4、某一段路程 x 千米,如果火车以49千米/时 的速度行驶,那么火车行完全程需要(X/49)小时. 若明明以每小时4千米的速度行驶上学,哥哥半小时后 发现明明忘了作业,,就骑车以每小时8千米追赶,问 哥哥需要多长时间才可以送到作业? 解:设哥哥要X小时才可以送到作业 8X = 4X + 4×0.5 解得 X = 0.5 答:哥哥要0.5小时才可以把作业送到 家 4×0.5 4X 学校 追 及 地 8X 敌军在早晨5时从距离我军7 千米的驻地开始逃跑,我军发现 后立即追击,速度是敌军的1.5倍, 结果在7时30分追上,我军追击速 度是多少? 2.5X 7千米 2.5(1.5X) 三、综合题 1.甲、乙两地路程为180千米,一人骑自行 车从甲地出发每时走15千米,另一人骑摩 托车从乙地出发,已知摩托车速度是自行 车速度的3倍,若两人同时出发,相向而行, 问经过多少时间两人相遇? ? 2. 甲、乙两地路程为180千米,一 人骑自行车从甲地出发每时走15千 米,另一人骑摩托车从乙地出发, 已知摩托车速度是自行车速度的3 倍,若两人同向而行,骑自行车在 先且先出发2小时, 问摩托车经过 多少时间追上自行车? ? 3.一架直升机在A,B两个城市 之间飞行,顺风飞行需要4小时, 逆风飞行需要5小时 .如果已知风 速为30km/h,求A,B两个城市 之间的距离. ? 4.甲、乙两人都以不变速度在400 米的环形跑道上跑步,两人在同一 地方同时出发同向而行,甲的速度 为100米/分乙的速度是甲速度的3/2 倍,问(1)经过多少时间后两人 首次遇(2)第二次相遇呢? 导入 相遇问题 想一想回答下面的问题: 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发,相向而行,两车会相遇吗? A 甲 B 乙 2、如果两车相遇,则相遇时两车所走的路程与A、 B两地的距离有什么关系? 相等关系:总量 =各分量之和 相等关系: A车路程 + B车路程 =相距路程 想一想回答下面的问题: 3、如果两车同向而行,B车先出发a小时,在什么 情况下两车能相遇?为什么? A车速度〉乙车速度 4、如果A车能追上B车,你能画出线段图吗? A(B) 甲 乙 相等关系: B车先行路程 + B车后行路程 =A车路程 精讲 例题 分 线段图分析: A 甲 析 例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每 50 x 30 x B 乙 小时行50千米,乙车每 小时行30千米。 (1)若两车同时相向 A车路程+B车路程=相距路程 若设B车行了x小时后与A车相遇, 显然A车相遇时也行了x小时。则A车 路程为 B车路程 50 千米; x 而行,请问B车行了多 长时间后与A车相遇? 为 30 x 千米。根据相等关系可列 相等关系:总量 =各分量之和 出方程。 精讲 例题 分 析 例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每 A车路程+B车路程=相距路程 A 甲 50 x 30 x B 乙 小时行50千米,乙车每 小时行30千米。 (1)若两车同时相向 解:设B车行了x小时后与A车相遇,根 据题意列方程得 50x+30x=240 解得 x=3 而行,请问B车行了多 长时间后与A车相遇? 答:设B车行了3小时后与A车相遇。 精讲 例题 分 线段图分析: A 甲 第一种情况: 析 例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每 50 x 80千米 30 x B 乙 小时行50千米,乙车每 小时行30千米。 (2)若两车同时相向 而行,请问B车行了多 长时间后两车相距80千 米? A车路程+B车路程+相距80千米= 相距路程 相等关系:总量=各分量之和 精讲 例题 分 线段图分析: A 析 例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每 B 80千米 小时行50千米,乙车每 小时行30千米。 (2)若两车同时相向 甲 乙 而行,请问B车行了多 长时间后两车相距80千 米? 第二种情况: A车路程+B车路程-相距80千米= 相距路程 变式 练习 分 线段图分析: A 甲 析 1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。 B 乙 (1)若两车相向而行, 请问B车行了多长时间 后与A车相遇? 相等关系:A车路程+A车同走的路程+ B车同走的路程=相距路程 变式 练习 分 线段图分析: A 甲 析 1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。 B 乙 (2)若两车相向而行, 请问B车行了多长时间 后两车相距10千米? A 甲 B 乙 精讲 例题 分 析 例2、小明每天早 上要在7:50之前赶到距 离家1000米的学校上学, 家 一天,小明以80米/分 的速度出发,5分后, 小明的爸爸发现他忘了 带语文书,于是,爸爸 立即以180米/分的速度 去追小明,并且在途中 追上他。 (1)爸爸追上小明用 了多少时间? (2)追上小明时,距 相等关系: 离学校还有多远? 学 校 400米 80x米 追 及 地 180x米 小明先行路程 + 小明后行路程 =爸爸的路程 精讲 例题 家 分 析 例2、小明每天早 上要在7:50之前赶到距 离家1000米的学校上学, 400米 80x米 一天,小明以80米/分 追 的速度出发,5分后, 小明的爸爸发现他忘了 及 180x米 带语文书,于是,爸爸 地 立即以180米/分的速度 去追小明,并且在途中 (1)解:设爸爸要 x分钟才追上小明, 追上他。 依题意得: (1)爸爸追上小明用 180x = 80x + 5×80 了多少时间? (2)追上小明时,距 解得 x=4 离学校还有多远? 答:爸爸追上小明用了4分钟。 学 校 变式 练习 分 线段图分析: 析 2、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。 若两车同向而行(B 车在A车前面),请问B 车行了多长时间后被A 车追上? 相等关系: A 50×1.5 甲 115 50x B 乙 30x A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115 变式 练习 分 析 叔叔 小王 3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 (1)反向 习跑步,小王每秒跑5米, 叔叔每秒跑7.5米。 (1)若两人同时同地反 向出发,多长时间两人 首次相遇? (2)若两人同时同地同 向出发,多长时间两人 首次相遇? 相等关系: 小王路程 + 叔叔路程 = 400 变式 练习 分 析 叔叔 小王 3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 (2)同向 习跑步,小王每秒跑4米, 叔叔每秒跑7.5米。 (1)若两人同时同地反 向出发,多长时间两人 首次相遇? (2)若两人同时同地同 向出发,多长时间两人 首次相遇? 相等关系: 小王路程 + 400 = 叔叔路程 归纳: 在列一元一次方程解行程问题时,我们 常画出线段图来分析数量关系。用线段图 来分析数量关系能够帮助我们更好的理解 题意,找到适合题意的等量关系式,设出 适合的未知数,列出方程。正确地作出线段 图分析数量关系,能使我们分析问题和解 问题的能力得到提高。 用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程如下: 实际问题 列方程 数学问题 (一元一次方程) 解 方 程 实际问题 的答案 数学问题的解 检验 (x=a) 小结:这节课我们复习了行程问题中的相遇和追及问 题,归纳如下: 相遇 A车路程 B车路程 相等关系:A车路程+B车路程=相距路程 A车先行路程 A车后行路程 追击 B车追击路程 相等关系: B车路程=A车先路程+A车后行路程 或B车路程=A车路程+相距路程 预备知识: 1、多位数的表示方法: ①若一个两位数的个位上的数字为a,十位 10b+a ; 上的数字为b,则这个两位数是_______ ②若一个三位数的个位上的数字为a,十位上 的数字为b,百位上的数字为c,则这个三位数 100c+10b+a 是________________ ; ③四、五…位数依此类推。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为:n-1,n,n+1(n为整数) ②三个连续偶数为:n-2,n,n+2(n为偶数) 或2n-2,2n,2n+2(n为整数) ③三个连续奇数为:n-2,n,n+2(n为奇数) 或2n-1,2n+1,2n+3(n为整数) 3、日历上的数字:在日历中用长方形框9个数字, 设正中间的数为a,则其它数如下表: a-8 a-1 a-7 a a-6 a+1 a+6 a+7 a+8 例1、三个连续偶数之和比最大一个偶数的2倍数多12, 求这三个数。 解:设三个连续偶数的中间一个数是x, 则另两个数分别是x-2,x+2. 依题意得 x+x-2+x+2=2(x+2)+12 解得 x=16 所以 当x=16时,x-2=14; x+2=18; 答:这三个连续偶数分别是14、16和18。 例2、某两位数,数字之和为8,将这个两位数的数字位 置对换,得到的新两位数比原两位数小18,求原来的两 位数。 解:设这个两位数个位上的数字是x,则十位上的 数字是8-x,那么这个两位数是10(8-x)+x;这个两 位数的数字位置对换,得到的新两位是10x+(8-x). 依题意得 10x+(8-x)=10(8-x)+x-18 解得 x=3 答:原来的两位数是53。 例3、用正方形圈出日历中的4个的和是76,这4天分 别是几号? 解:设用正方形圈出的4个日子如下表: x x+7 x+1 x+8 依题意得 x+x+1+x+7+x+8=76 解得 x=15 所以 当x=15时,x+1=16; x+7=22; x+8=23; 答:这4天分别是15、16、22、23号。 如果设其中的一个数为x,那么其他两个数 怎样表示?你是怎样设未知数的? 答: ①如果设中间的数为x,则 其它两个数可表示为x-7,x+7; ②如果设第一个数为x,则 其它两个数可表示为x+7,x+14; ③如果设第三个数为x,则 其它两个数可表示为x-14,x-7。 根据游戏中的问题,用你所设的未知数x , 列出方程,求出这三天分别是几号。 ①若设中间的数为x,则有 x-7+x+x+7=60 ②若设第一个数为x,则有 x+x+7+x+14=60 ③若设第三个数为x,则有 x-14+x-7+x=60 观察一下,哪种设法解方程时最简单? 解:设中间的数为x,则其它两个数分别 为x-7,x+7;根据题意,得 x-7+x+x+7=60 解得x=20 当x=20时,x-7=13,x+7=27 因此,这三天分别是13号,20号,27号。 如果小颖说的出是75,你认为可能吗? 为什么? 解:设中间的数为x,则其它两个数分 别为x-7,x+7;根据题意,得 x-7+x+x+7=75 解得 x=25 当x=25时,x-7=18,x+7=32 质疑:在一年中任何一个月中有没有32号这 一天? 所以小颖说的出是75,是不可能的。 如果小颖说的出是21,你认为可能吗? 为什么? 因为在 一年中任何 一个月中都 没有0号这 解:设中间的数为x,则其它两个数分 一天,所以 别为x-7,x+7;根据题意,得 x-7+x+x+7=21 这种情况不 会出现。 3x=21 x=7 当x=7时,x-7=0,x+7=14 做一做 两人一组 做下面的游戏: (1)每人准备一份日历,在各自的日历上任 意圈出一个数列上相邻的4个数。两人分别 把自己所圈中的4个数的和告诉同伴,由同伴 求出这4个数分别是多少? (2)在各自的日历上,用一个正方形任 意圈出2×2个数,把它们的和告诉同伴,由 同伴求出这4个数分别是多少? 小组合作探究 下面三个方框,每个方框共有九个日 期,任意填出一个日期数,你能根据日 历中各数的排列规律猜出另外的几个日 期数吗?请说明理由。 5 12 9 观察上面的三个方框你还能得出什么规律? 练习: 1、三个连续奇数的和为69,则这三个数是 21、23、25 。 2、一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如 果把十位与个位上的数对调,那么所得到的两位数比 原两位大36,则原两位数是 48 。 3、你假期外出旅行一周,这一周各天的日期之和是 15 号送你回家的. 84,那么旅行社是_____ 4、日历中同一竖列相邻三个数的和可以是( D ) A 、78 B、26 C、21 D、 45 ; 5、你能在日历中圈出一个竖列上相邻的3 个数,使得它们的和是40吗?为什么? 答:不能,可以从下面两个方面来分析原因: (1)如果设中间那个数为x,根据题意,得 40 (x-7)+x+(x+7)=40 解得:x= ,不符合实际; 3 (2)通过观察与研究,可知日历中一竖列上相 邻的3个数的和一定是三的倍数,而40不是,故 不能。 球赛积分表问题 2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜 18 18 14 4 4 8 8 10 10 11 12 12 40 40 36 36 34 34 33 32 32 通过观察积 分表,你能 得到哪些信 息? 14 12 12 11 10 10 7 15 16 22 22 29 28 22 22 负一场积1分 6 0 0 试一试: 你能求出胜一 场积几分吗? 设胜一场积x分, 从表中其他任何一行 可以列方程,求出x 的值 2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜 18 4 40 18 14 4 8 40 36 14 12 12 11 10 10 7 6 0 8 10 10 11 12 12 15 16 22 36 34 34 33 32 32 29 28 22 例如:从第一行得方程 18x+1×4=40 x=2 胜一场积2分 结论:负一场积1分 胜一场积2分 试一试: 列式表示积分与胜、 负场数之间的数量关系 18 18 14 14 12 12 11 10 10 7 6 0 4 4 8 8 10 10 11 12 12 15 16 22 40 40 36 36 34 34 33 32 32 29 28 22 22-m)场, 解: 如果一个队胜m场,则负( __________ 2m 负场积分为_________, 22 -m 则胜场积分为_____, 总积分为 2m +(22 -m)= m+22 想一想: 2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜 队名 八一双鹿 上海东方 比赛场次 22 22 胜场 18 18 负场 4 4 积分 40 40 北京首钢 22 22 22 22 22 22 22 22 14 14 12 12 8 8 10 10 36 36 34 34 负场比胜 场的2倍少 11场 吉林恒和 辽宁盼盼 广东宏运 前卫奥神 江苏南钢 山东润洁 浙江万马 10 10 7 12 12 15 32 32 29 双星济军 沈部雄狮 22 22 6 0 16 22 28 22 2000赛季全国男篮甲A联赛常规赛最终积分榜 队名 八一双鹿 上海东方 比赛场次 22 22 胜场 18 18 负场 4 4 积分 40 40 北京首钢 吉林恒和 辽宁盼盼 广东宏运 前卫奥神 江苏南钢 山东润洁 浙江万马 22 22 22 22 22 22 22 22 14 14 12 12 11 10 10 7 8 8 10 10 11 12 12 15 36 36 34 34 33 32 32 29 双星济军 沈部雄狮 22 22 6 0 16 22 28 22 猜一猜 有没有某队的胜场总积分 能等于负场总积分吗? 想一想 X表示什么量?它可 以是分数吗? 18 18 14 14 12 12 11 10 10 7 6 0 X表示所胜的场数,必须是整数,所以 X= 不符 3 合实际。 由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总 积分。 22 4 4 8 8 10 10 11 12 12 15 16 22 40 40 36 36 34 34 33 32 32 29 28 22 注意:解决实际问题时,要考虑得到的结果是 不是符合实际。 议一议: 通过例题学习,你有什么体会? 1、利用方程不仅能求未知数值,而且可 以进行推理判断。 2、用方程解决实际问题时,不仅要注意 解方程的过程是否正确,还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 暑假里,《新晚报》组织了我们的 小世界杯足球邀请赛,勇士队在第一 轮比赛中共赛了9场,得分17分。比赛 规定胜一场得 3 分 , 平一场得 1 分 , 负一 场得0分, 勇士队在这一轮比赛中只负 了2场,那么这个队胜了几场?又平了几 场呢? 在一次有12支球队参加的足球循环 赛中(每两队必须赛一场),规定胜一 场3分,平一场1分,负一场0分,某队 在这次循环赛中所胜场数比所负的场数 多两场,结果得18分,那么该队胜了几 场? 如图是一张有4人参加的某项棋类循环比 赛额定积分表,每场比赛胜者得3分,负者 得-1分,和局两人各得1分。 甲 乙 丙 1 -1 3 丁 总分 5 -3 (1)填出表内空格的分值; 甲 乙 丙 丁 -1 1 (2)排除这次比赛的名次。 3 1 -1 -1 ∴第一名: 丁 第二名: 甲 第三名:丙 第四名:乙 3 7 1 3 3 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据 时间/分 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 (1)如果温度的变化是均匀的,21分的 温度是多少? (2)什么时间的温度是34 ℃? 一次足球赛11轮(即每队均需赛 11场),胜一场记2分,平一场记1分,负 一场记 0 分 , 北京国安队所负场数是 所胜场数的 1 2 ,结果共得14分,求国 安队共平了多少场? 六.『调配问题』 例:在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的 有19人,现在另调20人去支援,使在甲处 的人数为在乙处的人数的2倍,应调往甲、 乙两处各多少人? 义务教育教科书 数学 七年级 上册 3.4 实际问题与一元一次方程(4) 探究3:电话计费问题 1.两种移动电话计费方式 全球通 神州行 0 0.60元/分 月租费 本地通话费 50元/月 0.40元/分 (1)你能从表中获得哪些信息,试用自 己的话说说。 (2)猜一猜,使用哪一种计费方式合算? (3)一个月内在本地通话200分和300 分,按两种计费方式各需交费多少元? 1.两种移动电话计费方式 全球通 神州行 0 0.60元/分 月租费 本地通话费 50元/月 0.40元/分 (4)如果月通话时间为x分,你能用含x 的代数式表示两种计费方式吗? (5)对于某个本地通话时间,会出现两 种计费方式的收费一样的情况吗? 1. 两种移动电话计费方式 全球通 神州行 月租费 50元/月 0 本地通话费 0.40元/分 0.60元/分 (6).你的父母各有一部手机,父亲业 务繁忙,通话时间比较长,母亲工作 单一,通话时间短,你能帮助你的父 母设计一个省钱的方案吗? 探究3 1.对问题的初步探究 问题1:下表给出的是两种移动电话的计费方式: 月使用 主叫限定 主叫超时 被叫 费(元) 时间(分) 费(元/分) 方式一 方式二 58 88 150 350 0.25 0.19 免费 免费 你了解表格中这些数字的含义吗? 1.对问题的初步探究 计费方式一 基本费58元 0 加超时费0.25元/分 350 加超时费 0.19元/分 150 基本费88元 计费方式二 问题2:你认为选择哪种计费方式更省钱呢? ―与主叫时间相关‖ 2.对问题的深入探究 问题3:设一个月内用移动电话主叫为t 分(t是正整 数).根据表1,当 t 在不同时间范围内取值, 列表说明按方式一和方式二如何计费. 主叫时间t /分 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 方式一计费/元 方式二计费/元 350 t 等于350 t 大于350 2.对问题的深入探究 主叫时间t /分 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 方式一计费/元 58 58 58+0.25(t-150) 58+0.25(350-150) =108 58+0.25(t-150) 方式二计费/元 88 88 88 88 88+0.19(t- 350) 350 t 等于350 t 大于350 2.对问题的深入探究 问题4:观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗? 主叫时间t /分 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 方式一计费/元 58 58 划算 划算 方式二计费/元 88 88 88 350 58+0.25(t-150) t 等于350 t 大于350 108 58+0.25(t-150) 88 划算 88+0.19(t-350) 2.对问题的深入探究 主叫时间t /分 t 大于150且小于 350 方式一计费/元 58+0.25(t-150) 方式二计费/元 88 依题意得: 58+0.25(t-150) = 88 去括号得: 58+0.25t-37.5 = 88 移项、合并同类项得: 0.25t = 67.5 系数化1得: t =270 ∴当 t =270分时,两种计费方式的费用相等, 那么当150< t <270分和270< t <350时,两种计费方式 哪种更合算呢? 2.对问题的深入探究 主叫时间t /分 t 大于350 方式一计费/元 58+0.25(t-150) 方式二计费/元 88+0.19(t-350) 当t >350分时,两种计费方式哪种更合算呢? 2.对问题的深入探究 问题4:综合以上的分析,可以发现: t 小于 270分 时,选择方式一省钱; t 大于 270分 时,选择方式二省钱. 计费方式一 0 计费方式二 270 巩固应用 利用我们在“电话计费问题”中学会的方法, 探 究下面的问题: 用A4纸在某誊印社复印文件,复印页数不超 过20时每页收费0.12元;复印页数超过20页时,超 过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文 件,不论复印多少页,每页收费0.1元. 如何根据复 印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜? (复印的页数不为零) 用A4纸在某誊印社复印文件,复印页数不超过20时每页收费0.12元;复印页 数超过20页时,超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复 印多少页,每页收费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较 便宜?(复印的页数不为零) 解:依题意列表得: 复印页数x 誊印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 x 等于20 0.12x 0.12×20=2.4 2.4+0.09(x-20) 0.1x 0.1×20=2 0.1x x 大于20 (1)当 x 小于20时,0.12 x大于0.1 x恒成 立,图书馆价格便宜; (2)当 x 等于20时,2.4大于2,图书馆价 格便宜; 复印页数x 誊印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 x 等于20 0.12x 0.12×20=2.4 0.1x 0.1×20=2 0.1x 2.4+0.09(x- x 大于20 20) (3)当 x 大于20时, 依题意得:2.4+0.09(x-20)=0.1x 解得: x=60 ∴ 当x大于20且小于60时,图书馆价格便宜; 当x大于60时,誊印社价格便宜. 综上所述:当x小于60页时,图书馆价格便宜; 当x大于60时,誊印社价格便宜. 练习2.某地上网有两种收费方式,用 户可以任选其一:A. 计时制:3元/ 时 B. 包月制:60元/月。 此外,每一种上网方式都加收通讯费 1元/时。(每月按30天计算) (1)请你为用户设计一个方案,使用户 能合理地选择上网方式。 (2)某用户有120小时用于上网(1个 月),选用哪种上网方式比较合算? 3、某市为鼓励居民节约用水,对自来水用户 按分段计费方式收取水费:若每户每月用水 不超过7m3,则按2元/m3收费;若每户每月用 水超过7m3,则超过的部分按3元/m3收费。 如果某居民户去年12月缴纳了53元水费,那 么这户居民去年12月的用水量为多少立方米? 小明用的练习本可以到甲商店购买,也可以 到乙商店购买.已知两商店的标价都是每本1 元,甲商店的优惠方法是:购买10本以上 时,从第11本开始按标价的70%出售;乙商 店的优惠方法是:从第一本开始就按标价 的80%出售. (1)小明要买20本时,到哪家商店购买省钱; (2)买多少本时,到两个商店花的钱一样多; (3)小明现有24元钱,最多可买多少本练习本 .